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N06 — Second degré II : racines, signe et discriminant

Cette notion complète l’étude du second degré avec les racines, le discriminant, la factorisation et le signe. Les exercices conduisent à résoudre des équations, des inéquations et des problèmes. Le second degré devient alors un outil de modélisation et de décision.

Objectifs

  • Calculer un discriminant et interpréter les racines.
  • Dresser et utiliser un tableau de signe.
  • Résoudre des inéquations et problèmes du second degré.

Documents

Notions essentielles

Pour P(x)=ax²+bx+c, avec a≠0, un réel r est une racine de P lorsque P(r)=0. Le discriminant Δ=b²-4ac donne le nombre de racines réelles :

  • si Δ>0, deux racines distinctes x₁ et x₂ ;
  • si Δ=0, une racine double x₀=-b/2a ;
  • si Δ<0, aucune racine réelle.

Avec deux racines x₁<x₂, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre elles. Avec une racine double, il garde le signe de a et s'annule seulement en x₀. Sans racine réelle, il garde le signe de a sur ℝ.

Pour résoudre une inéquation du second degré, on ramène tout dans un membre, on détermine les racines ou une factorisation, puis on dresse le tableau de signes avant de conclure. Une racine appartient à l'ensemble des solutions pour ⩽ ou ⩾, mais pas pour < ou >.

Exemple

Résolvons 2x² - 5x - 3 = 0. Ici a=2, b=-5, c=-3.

Δ = (-5)² - 4×2×(-3) = 49

Comme Δ>0, l'équation possède deux solutions :

x₁ = (5-7)/4 = -0,5 et x₂ = (5+7)/4 = 3

Donc S = {-0,5 ; 3}.

Voir aussi

  • PRÉREQUIS : N05 (La forme canonique éclaire la parabole.)
  • PROLONGEMENT : N10 (Les extremums seront repris avec les dérivées.)