N07 — Taux de variation
Le taux de variation mesure une évolution moyenne entre deux valeurs. Il relie les fonctions aux pentes de sécantes et prépare naturellement la notion de nombre dérivé. Les exercices alternent calculs, graphiques et interprétations dans des situations variées.
Objectifs
- Calculer un taux de variation sur un intervalle.
- Interpréter graphiquement une pente de sécante.
- Préparer le passage au nombre dérivé.
Documents
Notions essentielles
Entre deux réels distincts a et b, l'accroissement de la variable est b-a, et l'accroissement de l'image est f(b)-f(a). Le taux de variation de f entre a et b est le quotient τf(a;b) = (f(b)-f(a)) / (b-a) : il mesure l'accroissement moyen de f(x) par unité d'accroissement de x.
Ce taux est le coefficient directeur de la droite sécante passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)). Un taux positif indique que l'image augmente en moyenne entre a et b ; un taux négatif indique qu'elle diminue.
Pour une fonction affine, le taux de variation entre deux réels distincts est toujours le même : la pente est constante. Pour une fonction non affine, le taux dépend en général de l'intervalle choisi.
L'écriture (f(a+h)-f(a)) / h, avec h≠0, permet de rapprocher progressivement le second point du premier : elle prépare la notion de nombre dérivé, étudiée par la suite.
Exemple
Pour f(x)=x², entre 1 et 3, on a f(1)=1 et f(3)=9.
τf(1;3) = (9-1) / (3-1) = 4
En moyenne, lorsque x augmente de 1, l'image augmente de 4 sur cet intervalle.