N19 — Géométrie repérée
La géométrie repérée rassemble les outils de coordonnées, droites, distances et produit scalaire. Les exercices demandent de choisir une représentation, de calculer avec précision et de conclure géométriquement. Cette synthèse prépare les problèmes mêlant plusieurs méthodes.
Objectifs
- Modéliser une configuration dans un repère.
- Calculer distances, milieux, droites ou orthogonalités.
- Rédiger une conclusion géométrique à partir de calculs.
Documents
Notions essentielles
Dans un repère orthonormé, si une droite d a pour équation ax+by+c=0, alors n⃗(a ; b) est un vecteur normal à d, et un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si ax+by+c=0.
Le projeté orthogonal de M sur d est le point H∈d tel que (MH)⊥d — c'est aussi le point de d le plus proche de M.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r>0 a pour équation (x-a)²+(y-b)²=r². Une équation de la forme x²+y²+αx+βy+γ=0 se ramène à cette forme en complétant les carrés ; l'ensemble n'est un cercle que si le carré du rayon obtenu est strictement positif.
Pour étudier une configuration dans un repère : identifier les objets (points, droites, cercles), choisir l'outil adapté (vecteurs, produit scalaire, équations, projection), effectuer les calculs, puis conclure géométriquement.
Exemple
Le cercle de centre Ω(3 ; -2) et de rayon 4 a pour équation (x-3)²+(y+2)²=16.
Le point A(7 ; -2) appartient à ce cercle, car (7-3)² + (-2+2)² = 16.