N21 — Exponentielle II : modèles

Cette notion prolonge l’exponentielle dans les modèles d’évolution. Les ressources travaillent les équations, les inéquations simples, les variations et l’interprétation de situations concrètes. L’objectif est de relier calcul, graphique et modélisation.

Objectifs

Résoudre des équations simples avec l’exponentielle.
Étudier des variations impliquant l’exponentielle.
Interpréter un modèle exponentiel.

Documents

Notions essentielles

Un modèle discret d'évolution exponentielle s'écrit u_n=C×q^n, où C est la valeur initiale et q>0 le coefficient multiplicateur à chaque étape. Une hausse de t % par étape correspond à q=1+t/100 ; une baisse à q=1-t/100.

Un modèle continu est une fonction f(t)=C×e^(kt), avec C>0. Si k>0, f est croissante ; si k<0, f est décroissante. On a toujours f′(t) = k×f(t) : la vitesse d'évolution est proportionnelle à la quantité présente.

Si q>0 et si k vérifie e^k=q, alors pour tout entier n, q^n=e^(kn) : la suite u_n=C×q^n s'écrit aussi u_n=C×e^(kn), ce qui relie modèle discret et modèle continu.

Pour chercher un seuil, on calcule les termes ou valeurs successives jusqu'à dépasser (ou atteindre) le seuil fixé — en distinguant bien une condition stricte d'une condition large.

Exemple

Une population de bactéries est modélisée par N(t)=500×e^(0,18t), t en heures.

On a N(0)=500, et N′(t)=0,18×N(t) : la vitesse instantanée d'évolution est proportionnelle à la population présente.

Voir aussi

PRÉREQUIS : N20 (Les propriétés de base sont indispensables.)