N24 — Variables aléatoires et espérance

Les variables aléatoires transforment une expérience en valeurs numériques. Cette notion installe la loi de probabilité, l’espérance et l’interprétation d’un gain moyen. Elle sert à modéliser des jeux, décisions et situations aléatoires simples.

Objectifs

Définir une variable aléatoire et sa loi.
Calculer et interpréter une espérance.
Résoudre un problème de décision avec un modèle probabiliste.

Documents

Notions essentielles

Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Si X prend les valeurs x₁,...,xₙ avec les probabilités p₁,...,pₙ, sa loi de probabilité vérifie p₁+p₂+...+pₙ=1.

L'espérance de X est E(X) = x₁p₁+x₂p₂+...+xₙpₙ. Ce n'est pas forcément une valeur prise par X : elle s'interprète comme une moyenne à long terme, jamais comme un résultat garanti pour une seule expérience. Pour tous réels a et b : E(aX+b) = a×E(X)+b.

La variance de X est V(X) = Σ pᵢ(xᵢ-E(X))², et son écart-type est σ(X)=√V(X). La formule de König-Huygens donne V(X) = E(X²) - (E(X))², plus pratique en calcul. Une variance n'est jamais négative.

Lorsqu'on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne observée sur l'échantillon se rapproche de E(X), sans jamais lui être exactement égale sur un échantillon fini.

Exemple

Une variable aléatoire X prend les valeurs -1, 1 et 4 avec les probabilités 0,5, 0,3 et 0,2.

E(X) = (-1)×0,5 + 1×0,3 + 4×0,2 = -0,5+0,3+0,8 = 0,6

En moyenne, sur un grand nombre de répétitions, X vaut 0,6.

Voir aussi

PRÉREQUIS : N22 (Les probabilités de base alimentent la loi.)