N15 — Droites et équations
Les équations de droites relient géométrie, calcul et fonctions affines. Cette notion travaille coefficients directeurs, vecteurs directeurs, intersections et appartenance à une droite. Elle prolonge le repérage avant la trigonométrie et le produit scalaire.
Objectifs
- Déterminer une équation de droite.
- Utiliser coefficient directeur et vecteur directeur.
- Calculer une intersection ou tester une appartenance.
Documents
- Cours N15 — Droites et équations
- TD N15 — Droites et équations
- Automatismes N15 — Droites et équations
Notions essentielles
Un vecteur non nul u⃗ est un vecteur directeur d'une droite d lorsqu'il a la même direction que d. Si A et B sont deux points distincts de d, alors AB⃗ est un vecteur directeur de d. Un point M(x ; y) appartient à la droite passant par A(xA ; yA) de vecteur directeur u⃗(p ; q) lorsque p(y-yA) - q(x-xA) = 0.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0, avec (a ; b)≠(0 ; 0) : un point appartient à la droite lorsque ses coordonnées vérifient cette équation.
Si d a pour équation ax+by+c=0, un vecteur directeur de d est (-b ; a), et un vecteur normal (perpendiculaire à d) est (a ; b).
Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs (ou leurs vecteurs normaux) sont colinéaires : pour d:ax+by+c=0 et d′:a′x+b′y+c′=0, cela revient à ab′-a′b=0.
Exemple
On considère d : 2x - 3y + 4 = 0.
Pour A(1 ; 2) : 2×1 - 3×2 + 4 = 0, donc A∈d.
Pour B(4 ; 3) : 2×4 - 3×3 + 4 = 3, donc B∉d.