N08 — Nombre dérivé et dérivation
La dérivation permet de décrire une variation instantanée. Cette notion introduit le nombre dérivé, la tangente et les premières règles de calcul. Elle donne les outils qui serviront à étudier les variations, les extremums et les modèles fonctionnels.
Objectifs
- Calculer ou lire un nombre dérivé.
- Relier nombre dérivé et tangente à une courbe.
- Utiliser les premières règles de dérivation.
Documents
- Cours N08 — Nombre dérivé et dérivation
- TD N08 — Nombre dérivé et dérivation
- Automatismes N08 — Nombre dérivé et dérivation
Notions essentielles
Pour h≠0, le taux de variation de f entre a et a+h est (f(a+h)-f(a)) / h. Si ce quotient se rapproche d'un même nombre réel lorsque h se rapproche de 0, on dit que f est dérivable en a, et ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f′(a).
Graphiquement, f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Cette tangente a pour équation y = f′(a)(x-a) + f(a).
Le nombre dérivé peut ne pas exister : si les taux ne se stabilisent pas autour d'une même valeur lorsque h se rapproche de 0 (angle, pointe, pente verticale), la fonction n'est pas dérivable en ce point.
Exemple
Pour f(x)=x², calculons le nombre dérivé en 2. On a f(2)=4 et f(2+h)=4+4h+h², donc pour h≠0 :
(f(2+h)-f(2)) / h = (4h+h²) / h = 4+h
Lorsque h se rapproche de 0, 4+h se rapproche de 4. Donc f′(2)=4, et la tangente au point d'abscisse 2 a pour équation y = 4(x-2)+4, soit y = 4x-4.