N09 — Dérivées usuelles
Les dérivées usuelles fournissent une boîte à outils pour étudier rapidement une fonction. Les ressources consolident les formules, les combinaisons simples et les erreurs classiques. Elles préparent l’étude systématique des variations et des extremums.
Objectifs
- Connaître les dérivées des fonctions de référence.
- Dériver une somme, un produit par une constante ou une expression simple.
- Préparer l’étude du signe de la dérivée.
Documents
Notions essentielles
Si f est dérivable en tout réel d'un intervalle I, la fonction qui à x associe f′(x) s'appelle la fonction dérivée de f, notée f′.
Dérivées usuelles : une constante a pour dérivée 0 ; (x)′=1 ; (x²)′=2x ; (x³)′=3x² ; (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ là où xⁿ est définie ; (1/x)′=-1/x² sur ℝ* ; (√x)′=1/(2√x) sur ]0 ; +∞[.
Pour deux fonctions dérivables u et v et un réel k : (u+v)′=u′+v′, (ku)′=ku′, (uv)′=u′v+uv′, et si v ne s'annule pas, (u/v)′=(u′v-uv′)/v².
Pour une fonction composée avec une fonction affine, f(x)=g(ax+b) a pour dérivée f′(x)=a×g′(ax+b).
Exemple
Pour g(x)=x²(3x-1), on pose u(x)=x² et v(x)=3x-1, donc u′(x)=2x et v′(x)=3. Avec (uv)′=u′v+uv′ :
g′(x) = 2x(3x-1) + 3x² = 9x² - 2x