N23 — Indépendance et arbres

L’indépendance donne un critère pour simplifier certains calculs de probabilités. On apprend à la reconnaître, à la tester et à l’utiliser dans des arbres ou des tableaux. Les situations demandent de rester attentif au sens des événements.

Objectifs

Tester l’indépendance de deux événements.
Utiliser un arbre de probabilités de façon structurée.
Interpréter les résultats dans le contexte.

Documents

Notions essentielles

Deux événements A et B (avec P(A)>0) sont indépendants lorsque P_A(B)=P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Critère pratique : A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A)×P(B).

Deux événements indépendants ne sont pas incompatibles : ce sont deux notions différentes. Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ le sont aussi (de même pour Ā et B, Ā et B̄).

Une succession d'épreuves est indépendante lorsque le résultat de l'une ne modifie pas le modèle probabiliste des suivantes : dans l'arbre, les sous-arbres d'une même épreuve sont identiques. Avec remise, l'indépendance est souvent un modèle adapté ; sans remise, généralement pas.

Dans une répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, un chemin avec k succès a pour probabilité p^k×(1-p)^(n-k), et P(au moins un succès) = 1-(1-p)^n.

Exemple

Si P(A)=0,4, P(B)=0,3 et P(A∩B)=0,12 :

P(A)×P(B) = 0,4×0,3 = 0,12 = P(A∩B), donc A et B sont indépendants.

Voir aussi

PRÉREQUIS : N22 (Les probabilités conditionnelles donnent les formules.)