N18 — Produit scalaire II
Cette seconde partie du produit scalaire développe les identités utiles et les applications aux problèmes. Les ressources mobilisent Al-Kashi, les calculs de longueurs, les angles et certains lieux de points. On apprend à choisir une formule selon la configuration.
Objectifs
- Utiliser les identités du produit scalaire.
- Appliquer le théorème d’Al-Kashi.
- Résoudre des problèmes de géométrie avec un choix de formule.
Documents
Notions essentielles
Pour tous vecteurs u⃗ et v⃗ : ‖u⃗+v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2×u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖² et ‖u⃗-v⃗‖² = ‖u⃗‖² - 2×u⃗·v⃗ + ‖v⃗‖².
Dans un triangle ABC, avec a=BC, b=AC, c=AB, la formule d'Al-Kashi généralise Pythagore : BC² = AB² + AC² - 2×AB×AC×cos(Â). Elle permet aussi de calculer un angle à partir des trois longueurs : cos(Â) = (AB²+AC²-BC²) / (2×AB×AC).
Pour deux points distincts A et B, l'ensemble des points M tels que MA⃗·MB⃗=0 est le cercle de diamètre [AB] (A et B inclus) : cela revient à dire que le triangle AMB est rectangle en M.
Exemple
Dans un triangle ABC avec AB=6, AC=5 et Â=60° :
BC² = 6² + 5² - 2×6×5×cos 60° = 36+25-60×0,5 = 31, donc BC = √31.