N01 — Logique, ensembles et intervalles
Les premières notations structurent tout le travail de spécialité mathématiques. Cette notion consolide les ensembles, les intervalles, les implications et la rédaction courte. Elle sert de base pour écrire clairement les calculs, les résolutions d’équations et les raisonnements sur les fonctions.
Objectifs
- Utiliser correctement les notations d’ensembles et d’intervalles.
- Traduire une phrase mathématique en écriture symbolique.
- Rédiger un raisonnement court et lisible.
Documents
- Cours N01 — Logique, ensembles et intervalles
- TD N01 — Logique, ensembles et intervalles
- Automatismes N01 — Logique, ensembles et intervalles
- Corrigé TD N01
- 🎯 Évaluée au DS1 du lundi 23 novembre : devoir blanc en ligne le lundi 16 novembre
Notions essentielles
Une assertion est une phrase mathématique vraie ou fausse. Une phrase ouverte dépend d'une variable : elle devient une assertion lorsqu'une valeur est fixée.
Une implication P ⇒ Q signifie que chaque fois que P est vraie, Q est vraie. Sa réciproque Q ⇒ P est une affirmation différente, à étudier séparément.
Pour réfuter une implication, un seul contre-exemple suffit : il faut trouver une situation où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse.
La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P. Elle a la même valeur de vérité que l'implication de départ.
L'appartenance x ∈ E relie un élément à un ensemble ; l'inclusion A ⊂ B relie deux ensembles. Les opérations A ∩ B, A ∪ B et A \ B se lisent souvent efficacement sur une représentation d'intervalles.
Exemple
Soient A=[-3 ; 2] et B=]0 ; 5[.
La partie commune aux deux intervalles est A ∩ B = ]0 ; 2].
La réunion des deux intervalles est A ∪ B = [-3 ; 5[.
La partie de A qui n'appartient pas à B est A \ B = [-3 ; 0].