N13 — Sommes et modèles discrets
Les sommes permettent d’additionner les termes d’une suite et de modéliser des accumulations. Cette notion travaille les formules utiles, les interprétations et les choix de modèle. Elle prépare aussi le dialogue avec l’algorithmique.
Objectifs
- Calculer une somme de termes consécutifs.
- Choisir une formule adaptée au type de suite.
- Interpréter une accumulation dans un modèle discret.
Documents
- Cours N13 — Sommes et modèles discrets
- TD N13 — Sommes et modèles discrets
- Automatismes N13 — Sommes et modèles discrets
Notions essentielles
Une somme cumulée additionne plusieurs termes consécutifs d'une suite. La notation Σ (sigma) Σₖ₌₀ⁿ uₖ se lit « somme des uₖ, pour k allant de 0 à n » et signifie u₀+u₁+⋯+uₙ.
Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs vaut : nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. En particulier, u₀+u₁+⋯+uₙ = (n+1) × (u₀+uₙ)/2.
Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q≠1 : u₀+u₁+⋯+uₙ = u₀ × (1-qⁿ⁺¹)/(1-q).
Un terme isolé uₙ est une valeur ; une somme u₀+⋯+uₙ est un total : il ne faut pas confondre les deux.
Exemple
Calculons 3+6+12+24+48, une somme géométrique de premier terme 3, de raison 2, avec 5 termes :
3+6+12+24+48 = 3 × (1-2⁵)/(1-2) = 3×31 = 93