N17 — Produit scalaire I
Le produit scalaire permet de calculer avec les longueurs, les angles et l’orthogonalité. Cette première partie introduit les définitions, la projection et les expressions en coordonnées. Elle donne une méthode efficace pour traiter des configurations géométriques.
Objectifs
- Calculer un produit scalaire avec une formule adaptée.
- Utiliser projection et coordonnées.
- Reconnaître ou prouver une orthogonalité.
Documents
Notions essentielles
Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ est un nombre réel, noté u⃗·v⃗ — pas un vecteur. Lorsque u⃗ et v⃗ sont non nuls : u⃗·v⃗>0 si l'angle entre eux est aigu, u⃗·v⃗=0 si l'angle est droit, u⃗·v⃗<0 si l'angle est obtus.
Avec un angle θ entre 0 et π : u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ.
Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), alors u⃗·v⃗ = xx′+yy′.
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗·v⃗=0. Deux droites de vecteurs directeurs u⃗ et v⃗ sont perpendiculaires si et seulement si u⃗·v⃗=0.
Exemple
Soient u⃗(3 ; -2) et v⃗(5 ; 4), dans un repère orthonormé :
u⃗·v⃗ = 3×5 + (-2)×4 = 15-8 = 7