N20 — Fonction exponentielle I
La fonction exponentielle modélise des évolutions où le taux de variation garde une structure particulière. Cette première approche installe la définition, les propriétés algébriques et les premières lectures graphiques. Elle sera prolongée par des modèles plus complets.
Objectifs
- Connaître les premières propriétés de l’exponentielle.
- Calculer avec les règles algébriques de l’exponentielle.
- Lire et interpréter sa courbe.
Documents
- Cours N20 — Fonction exponentielle I
- TD N20 — Fonction exponentielle I
- Automatismes N20 — Fonction exponentielle I
Notions essentielles
Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′=f et f(0)=1 : c'est la fonction exponentielle, notée exp. On note e=exp(1)≈2,718, et pour tout réel x, exp(x)=e^x.
Pour tous réels x et y : e^(x+y) = e^x × e^y, et e^x × e^(-x) = 1.
Pour tout réel x, e^x>0. Comme exp′=exp, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Pour tout réel a, la fonction t↦e^(at) est dérivable sur ℝ et (e^(at))′ = a×e^(at).
Exemple
Simplifions e^(2x+1) / e^(x-3) pour tout réel x :
e^(2x+1) / e^(x-3) = e^((2x+1)-(x-3)) = e^(x+4)