N10 — Variations et extremums
L’étude des variations met la dérivée au service de la résolution de problèmes. On cherche le signe de la dérivée, on construit un tableau de variations et on identifie des extremums. Cette méthode relie calcul formel, lecture graphique et optimisation.
Objectifs
- Étudier le signe d’une dérivée.
- Construire et exploiter un tableau de variations.
- Déterminer un maximum ou un minimum.
Documents
- Cours N10 — Variations et extremums
- TD N10 — Variations et extremums
- Automatismes N10 — Variations et extremums
Notions essentielles
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f′(x)>0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f′(x)<0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Si f′(x)=0 sur I, alors f est constante sur I.
Pour étudier les variations de f, on calcule f′(x), on résout f′(x)=0 et on étudie le signe de f′, puis on traduit ce signe dans un tableau de variations.
f admet un maximum M sur I lorsque f(x)⩽M pour tout x de I ; elle admet un minimum m lorsque f(x)⩾m pour tout x de I. Si f est dérivable et admet un extremum local en un point intérieur a, alors f′(a)=0 — mais cette condition seule ne suffit pas à garantir un extremum : il faut regarder le signe de f′ de part et d'autre de a. Si f′ change de signe en a, f admet un extremum local en a.
Exemple
Étudions f(x)=x³-3x+1 sur [-3 ; 3]. On a f′(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1), donc f′(x)=0 pour x=-1 ou x=1.
Avec f(-3)=-17, f(-1)=3, f(1)=-1 et f(3)=19, le tableau de variations montre que f admet un maximum local égal à 3 en x=-1, puis un minimum local égal à -1 en x=1.