N18 — Probabilités et échantillonnage

Les probabilités transforment une situation aléatoire en modèle calculable. Les ressources font passer d’un contexte à un modèle, interpréter une probabilité conditionnelle et lire une simulation. Le vocabulaire des données reste important pour éviter de confondre effectifs, fréquences et probabilités.

Objectifs

• Construire un modèle probabiliste simple.
• Interpréter une probabilité conditionnelle.
• Lire une simulation.

Objectifs

• Passer d'une situation à un modèle probabiliste.
• Interpréter une probabilité conditionnelle.
• Lire une simulation.

Documents

• Cours N18 — Probabilités et échantillonnage
• TD N18 — Probabilités et échantillonnage
• Automatismes N18 — Probabilités et échantillonnage

Notions essentielles

Dans une expérience aléatoire, l'univers Ω est l'ensemble des issues possibles et un événement est une partie de Ω. Une loi de probabilité associe à chaque issue un nombre compris entre 0 et 1, de sorte que la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. En cas d'équiprobabilité, P(A) = Card(A) / Card(Ω). Si Ā désigne l'événement contraire de A, alors P(Ā) = 1 - P(A).

La probabilité de B sachant A, notée P_A(B), mesure la probabilité de B lorsqu'on se place dans la situation où A est réalisé : P_A(B) = P(A∩B) / P(A). En général, P_A(B) ≠ P_B(A) : le dénominateur n'est pas le même. Dans un arbre pondéré, les branches portent des probabilités, souvent conditionnelles à partir du deuxième niveau, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.

Un échantillon est un ensemble d'observations obtenu en répétant une expérience. La fréquence observée peut varier d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Lorsque le nombre d'essais est grand, la fréquence observée est en général proche de la probabilité, mais une simulation ne démontre pas une valeur exacte.

Exemple

Une population de 200 pièces contient 30 pièces défectueuses. La probabilité de tirer une pièce défectueuse au hasard est P = 30/200 = 0,15.

Sur 50 tirages simulés, on n'obtient pas nécessairement exactement 50 × 0,15 = 7,5 pièces défectueuses : le résultat fluctue d'une simulation à l'autre autour de cette valeur attendue.

Voir aussi

• PRÉREQUIS : N17 (Les tableaux croisés aident à organiser les informations.)