N13 — Équations et inéquations avec fonctions
Les équations et inéquations de fonctions se lisent sur une courbe ou se résolvent par le calcul. Les documents font comparer des images, utiliser des tableaux de signes et choisir entre lecture graphique et méthode algébrique. La conclusion doit préciser l’ensemble des solutions.
Objectifs
- Résoudre par lecture graphique.
- Résoudre par calcul ou tableau de signes.
- Choisir une méthode adaptée.
Objectifs
- Résoudre par lecture graphique.
- Résoudre par calcul et tableau de signes.
- Choisir la méthode adaptée.
Documents
- Cours N13 — Équations et inéquations avec fonctions
- TD N13 — Équations et inéquations avec fonctions
- Automatismes N13 — Équations et inéquations avec fonctions
Notions essentielles
Résoudre f(x) = g(x), c'est chercher toutes les abscisses x pour lesquelles les deux fonctions ont la même image. Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection des courbes. Trois méthodes sont possibles : une lecture graphique (vue globale, valeur parfois approchée), une résolution algébrique (transformer en f(x) - g(x) = 0 puis factoriser) ou une méthode numérique (table de valeurs, encadrement) lorsqu'aucune valeur exacte simple n'est accessible.
Le signe d'un produit se déduit du signe de ses facteurs, et ses zéros sont les zéros des facteurs. Pour résoudre une inéquation avec un produit, on factorise, on repère et on ordonne les zéros, puis on construit un tableau de signes.
Un quotient A(x)/B(x) n'est défini que si B(x) ≠ 0 : toute valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite et n'appartient jamais à l'ensemble des solutions, même si elle apparaît comme une borne naturelle du tableau.
Résoudre f(x) > g(x) revient à résoudre f(x) - g(x) > 0 : graphiquement, on repère où la courbe de f est au-dessus de celle de g ; algébriquement, on étudie le signe de f - g.
Exemple
Pour résoudre (x-1)/(x+2) ≤ 0, on commence par le domaine : x = -2 est une valeur interdite. Le numérateur s'annule en x = 1.
Le tableau de signes donne S = ]-2 ; 1] : l'intervalle contient 1, où le quotient est nul, mais exclut -2, valeur interdite.