N18 — Épreuves indépendantes de Bernoulli et arbres

Une épreuve de Bernoulli n’a que deux issues : succès ou échec. Les ressources font reconnaître ce modèle, représenter des répétitions indépendantes et construire des arbres jusqu’à un nombre limité d’épreuves. Le calcul reste guidé par la structure de l’arbre.

Objectifs

Reconnaître une épreuve de Bernoulli.
Représenter des répétitions indépendantes.
Construire et exploiter un arbre jusqu’à n ≤ 4.

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Documents

Notions essentielles

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à exactement deux issues : le succès S, de probabilité p, et l'échec S̄, de probabilité 1-p. Le mot « succès » est une simple convention : il ne signifie pas forcément un résultat favorable dans le contexte.

Répéter une même épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante signifie que la probabilité de succès reste p à chaque étape, et que le résultat d'une étape ne modifie pas les probabilités des étapes suivantes : les mêmes probabilités réapparaissent alors à chaque niveau de l'arbre, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. On se limite à au plus 4 répétitions : pour calculer la probabilité d'un événement, on traduit l'événement en termes de S et S̄, on repère tous les chemins qui le réalisent, on calcule chaque chemin, puis on additionne. Pour « au moins un succès », il est souvent plus court de passer par l'événement contraire : P(au moins un S) = 1 - P(aucun S).

Exemple

Une entreprise envoie une offre à trois clients indépendants, chacun l'acceptant avec une probabilité de 0,30.

« Exactement deux succès » correspond aux trois chemins SSS̄, SS̄S, S̄SS, chacun de probabilité 0,30² × 0,70 = 0,063. La probabilité cherchée est donc 3 × 0,063 = 0,189.