N11 — Nombre dérivé : sécantes, tangentes, interprétation

Le nombre dérivé apparaît comme une pente limite : on part des sécantes pour arriver à la tangente. Les ressources privilégient l’interprétation graphique et le lien avec une variation instantanée. Ce chapitre prépare la fonction dérivée et les tableaux de variations.

Objectifs

• Introduire le nombre dérivé par un point de vue graphique.
• Interpréter une pente de sécante puis de tangente.
• Relier le nombre dérivé à une variation instantanée.

Voir aussi

• N05 — Taux de variation et fonctions monotones
• N12 — Fonction dérivée et polynômes de degré au plus 3

Documents

• Cours N11 — Nombre dérivé : sécantes, tangentes, interprétation
• TD N11 — Nombre dérivé : sécantes, tangentes, interprétation
• Automatismes N11 — Nombre dérivé : sécantes, tangentes, interprétation

Notions essentielles

Le taux de variation de f entre a et b, (f(b)-f(a))/(b-a), est le coefficient directeur de la sécante passant par les points d'abscisses a et b. Lorsqu'on rapproche progressivement le second point du premier, les sécantes se rapprochent d'une droite unique : la tangente à la courbe. Lorsque les coefficients directeurs des sécantes se rapprochent ainsi d'un nombre unique, ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) — c'est le coefficient directeur de la tangente.

Le signe de f'(a) se lit sur la tangente : montante (f'(a) > 0), horizontale (f'(a) = 0), descendante (f'(a) < 0). Le nombre dérivé s'interprète comme une variation instantanée (ou marginale) : pour une petite augmentation de x autour de a, la variation de f(x) est approximativement donnée par cette pente.

Exemple

Le coût total de x articles est C(x) = 0,05x² + 20x + 500. Le taux τ_h = (C(100+h)-C(100))/h vaut successivement 31, puis 30,5, puis 30,25, puis 30,05 lorsque h vaut 20, 10, 5, 1.

Ces valeurs se rapprochent de 30 : on obtient C'(100) = 30. Autour de 100 articles, produire un article de plus augmente le coût d'environ 30 euros.