N07 — Second degré factorisé : racines, signe et problèmes
La forme factorisée rend visibles les racines d’une expression du second degré. Les ressources font vérifier une racine conjecturée, factoriser dans des cas simples et utiliser cette écriture pour étudier le signe. Ce travail prolonge la lecture des paraboles et sert dans des problèmes contextualisés.
Objectifs
- Vérifier une racine conjecturée.
- Factoriser dans des cas simples lorsqu’une racine est connue.
- Utiliser une forme factorisée pour trouver racines et signe.
Voir aussi
Documents
- Cours N07 — Second degré factorisé : racines, signe et problèmes
- TD N07 — Second degré factorisé : racines, signe et problèmes
- Automatismes N07 — Second degré factorisé : racines, signe et problèmes
Notions essentielles
Un nombre réel α est une racine d'un polynôme P lorsque P(α) = 0 ; pour vérifier qu'un nombre conjecturé est une racine, on remplace x par ce nombre. Dans une forme factorisée P(x) = a(x-x1)(x-x2), les racines sont directement x1 et x2, car un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Lorsqu'une racine est déjà connue, on peut factoriser dans les cas simples en cherchant P(x) = (x-α)(ax+d), puis en identifiant d par développement.
Pour x1 < x2, la forme a(x-x1)(x-x2) est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles ; les racines elles-mêmes annulent l'expression. Dans un problème, « équilibre » se traduit souvent par P(x) = 0, « gain » par P(x) > 0, « perte » par P(x) < 0 — on résout puis on croise avec l'intervalle admissible du contexte avant de conclure. Lorsqu'aucune factorisation simple n'apparaît, un balayage numérique donne un encadrement approché, jamais une valeur exacte.
Exemple
Le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, est modélisé sur [0 ; 10] par B(x) = -0,5(x-2)(x-8), où x est le nombre de centaines d'articles vendus.
Les racines sont 2 et 8 : ce sont les seuils d'équilibre. Comme le coefficient est négatif, B(x) > 0 pour x ∈ ]2 ; 8[ : l'entreprise réalise un bénéfice lorsqu'elle vend strictement entre 200 et 800 articles.