N05 — Taux de variation et fonctions monotones

Le taux de variation mesure une évolution moyenne entre deux valeurs. Les documents le relient à la pente d’une sécante et à la monotonie d’une fonction sur un intervalle. Le travail fait le lien entre calcul, lecture graphique et interprétation d’une situation.

Objectifs

Définir et interpréter un taux de variation.
Relier taux de variation et pente d’une sécante.
Caractériser une fonction monotone sur un intervalle.

Voir aussi

Documents

Notions essentielles

Pour une fonction f et deux nombres distincts a et b, le taux de variation entre a et b est τ(a;b) = (f(b)-f(a))/(b-a) : il mesure la variation moyenne de f(x) par unité de variation de x, avec son unité propre (ce n'est pas un pourcentage). Graphiquement, ce taux est la pente de la sécante passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)).

Le signe du taux indique le sens : τ(a;b) > 0 si la sécante monte, < 0 si elle descend, = 0 si elle est horizontale. Une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque, pour tous a < b dans I, f(a) ⩽ f(b) ; elle est décroissante lorsque f(a) ⩾ f(b). Une fonction est croissante sur I si et seulement si tous ses taux de variation sur I sont positifs ou nuls (décroissante : négatifs ou nuls) — un seul taux calculé sur un intervalle ne renseigne que sur cet intervalle.

Pour une fonction affine f(x) = mx+p, le taux de variation entre deux nombres distincts vaut toujours m : le rythme de variation est constant, contrairement à une fonction non affine.

Exemple

Le coût logistique C(x) d'une entreprise passe de 700 € à 1000 € entre 100 et 200 commandes, puis à 1600 € pour 350 commandes, puis à 2350 € pour 500 commandes.

Les taux de variation successifs sont (1000-700)/(200-100) = 3, (1600-1000)/(350-200) = 4, puis (2350-1600)/(500-350) = 5 euros par commande. Tous positifs : le coût est croissant, mais pas à rythme constant.