N10 — Modèles d’évolution, seuils, tableur et Python
Les modèles d’évolution servent à prévoir quand une quantité franchit un seuil. Les ressources mobilisent suites, fonctions, tableur et Python pour organiser les calculs. L’objectif est de choisir un modèle, produire des valeurs fiables et interpréter le rang ou la date obtenue.
Objectifs
- Utiliser suites et fonctions pour étudier des évolutions.
- Chercher un rang seuil.
- Structurer une démarche avec tableur ou Python.
Voir aussi
Documents
- Cours N10 — Modèles d’évolution, seuils, tableur et Python
- TD N10 — Modèles d’évolution, seuils, tableur et Python
- Automatismes N10 — Modèles d’évolution, seuils, tableur et Python
Notions essentielles
Le choix de l'outil dépend de la question posée : un terme isolé se calcule avec une formule explicite, une liste de termes s'obtient avec un tableur ou une boucle for, la recherche d'un rang seuil utilise une boucle while, et une somme se calcule avec un accumulateur.
Chercher un rang seuil, c'est déterminer le plus petit entier n pour lequel une condition devient vraie (par exemple u(n) > 3000). Pour justifier qu'un rang est bien le premier à vérifier la condition, on contrôle les deux inégalités : le rang précédent ne la vérifie pas encore, le rang trouvé la vérifie. Dans une boucle while, la condition de répétition est l'opposée de la condition recherchée : pour chercher u(n) > S, on répète tant que u ⩽ S.
La somme des termes de rangs 0 à N, notée S = u(0) + u(1) + ⋯ + u(N), comporte N+1 termes. Elle se calcule avec un tableur (fonction SOMME) ou avec un accumulateur Python qui mémorise le total au fur et à mesure — jamais avec une formule fermée toute faite.
Exemple
Une entreprise a 2400 abonnés et prévoit une hausse de 4 % par an : u(n) = 2400 × 1,04ⁿ.
On calcule u(5) ≈ 2920 ⩽ 3000 et u(6) ≈ 3037 > 3000 : le rang 6 est donc bien le premier rang où le nombre d'abonnés dépasse 3000.