N12 — Fonction dérivée et polynômes de degré au plus 3
La fonction dérivée donne une méthode de calcul pour étudier les variations. Les ressources portent sur les dérivées simples, la linéarité et les polynômes de degré au plus 3. Cette étape prépare les tableaux de variations : il faut d’abord calculer correctement avant d’interpréter le signe de la dérivée.
Objectifs
- Calculer des dérivées simples.
- Utiliser les règles de linéarité.
- Préparer l’étude de variations par le signe de la dérivée.
Voir aussi
- N11 — Nombre dérivé : sécantes, tangentes, interprétation
- N13 — Variations et extremums par dérivation
Documents
- Cours N12 — Fonction dérivée et polynômes de degré au plus 3
- TD N12 — Fonction dérivée et polynômes de degré au plus 3
- Automatismes N12 — Fonction dérivée et polynômes de degré au plus 3
Notions essentielles
La fonction qui, à chaque réel x d'un intervalle, associe le nombre dérivé f'(x), s'appelle la fonction dérivée de f. Sur ℝ, les dérivées de référence sont : (c)' = 0 pour une constante, (x)' = 1, (x²)' = 2x, (x³)' = 3x². La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et (kf)' = k×f' : pour dériver un polynôme de degré au plus 3, on dérive chaque terme puis on réduit — les règles du produit et du quotient ne sont pas nécessaires ici.
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f'(a)(x-a) : il faut calculer f(a), déterminer f'(x), calculer f'(a), puis remplacer et développer.
Exemple
Pour P(x) = 4x³ - 3x² + 7x - 5, on dérive terme à terme : P'(x) = 4×3x² - 3×2x + 7 = 12x² - 6x + 7.
Pour la tangente, avec f(x) = x³ - 2x + 1 en a = 1 : f(1) = 0 et f'(x) = 3x² - 2 donne f'(1) = 1. L'équation réduite de la tangente est donc y = x - 1.