N03 — Calcul algébrique, équations et signes
Le calcul algébrique permet de transformer des expressions et de résoudre des problèmes. Les ressources consolident le calcul littéral simple, les équations produit nul et le signe d’une expression du premier degré. Ces outils servent ensuite dans les fonctions et le second degré.
Objectifs
- Consolider le calcul littéral simple.
- Résoudre des équations produit nul.
- Déterminer le signe d’une expression du premier degré.
Voir aussi
Documents
- Cours N03 — Calcul algébrique, équations et signes
- TD N03 — Calcul algébrique, équations et signes
- Automatismes N03 — Calcul algébrique, équations et signes
- 🎯 Évaluée au mini-test 2 du jeudi 12 novembre : voir le devoir blanc
- 🎯 Évaluée au DS1 du mardi 24 novembre : devoir blanc en ligne le mardi 17 novembre
Notions essentielles
Développer transforme un produit en somme (a(b+c) = ab+ac) ; factoriser transforme une somme en produit (ab+ac = a(b+c)). Un produit de réels est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0 — cette propriété ne s'applique qu'à un second membre égal à 0.
L'expression ax+b (avec a ≠ 0) s'annule en x0 = -b/a ; elle a le signe de a à droite de x0, et le signe opposé à gauche. Pour étudier le signe d'un produit (ax+b)(cx+d), on calcule les zéros de chaque facteur, on les range dans l'ordre croissant, puis on multiplie les signes colonne par colonne dans un tableau de signes. Un zéro appartient à l'ensemble des solutions pour ⩾ ou ⩽, mais pas pour > ou <.
Exemple
Le bénéfice d'une opération commerciale est modélisé par B(x) = (x-20)(60-x), où x est le nombre de lots vendus, avec 0 ⩽ x ⩽ 80.
Les zéros 20 et 60 sont les seuils d'équilibre. Le tableau de signes donne B(x) > 0 pour 20 < x < 60 : l'entreprise réalise un bénéfice sur cet intervalle, et subit une perte en dehors.