N13 — Variations et extremums par dérivation
Le signe de la dérivée permet d’organiser l’étude des variations d’une fonction. Les ressources font construire des tableaux de variations, repérer des extremums et traiter des problèmes simples d’optimisation. L’attention porte sur le lien entre calcul de dérivée, signe et interprétation graphique ou économique.
Objectifs
- Relier le signe de la dérivée aux variations.
- Construire un tableau de variations.
- Résoudre un problème d’optimisation simple.
Voir aussi
Documents
- Cours N13 — Variations et extremums par dérivation
- TD N13 — Variations et extremums par dérivation
- Automatismes N13 — Variations et extremums par dérivation
Notions essentielles
Sur un intervalle I, si f'(x) ⩾ 0, alors f est croissante sur I ; si f'(x) ⩽ 0, alors f est décroissante. Pour étudier les variations : calculer f'(x), résoudre f'(x) = 0, étudier le signe de f', puis en déduire les variations et les valeurs utiles de f. Si f' change de signe de négatif à positif en a, f admet un minimum local en a ; de positif à négatif, un maximum local.
Sur un intervalle fermé, un extremum local n'est pas nécessairement l'extremum sur tout l'intervalle : il faut comparer les valeurs de f aux points critiques et aux deux bornes avant de conclure. Une optimisation en contexte se conclut toujours par une interprétation avec les unités.
Exemple
Le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, est P(x) = -x² + 48x - 320 pour x ∈ [0 ; 40], où x est un nombre de centaines d'articles.
P'(x) = -2x + 48 est positif sur [0 ; 24[, nul en 24, négatif sur ]24 ; 40] : P croît puis décroît, avec un maximum en x = 24. Comme P(24) = 256, le bénéfice maximal est de 256 000 euros pour une production de 2400 articles.